Naukowcy podpowiadają, jak pakować prezenty

Co roku święty Mikołaj i elfy mają nie lada kłopot. W swoich saniach, których rozmiar jest ograniczony, muszą zmieścić całą górę prezentów. Gdy paczki są kwadratowe lub prostokątne, ich optymalne ułożenie nie nastręcza kłopotu. Ale co zrobić z podarunkami okrągłymi - bombkami albo pomarańczami? Układać je jedne na drugich, a może lepiej obok siebie?

Odpowiedzi świętemu Mikołajowi mogą dostarczyć matematycy. Już 400 lat temu udowodnili to, co wie każdy sprzedawca owoców - pomarańcze będą zajmować najmniej miejsca, gdy ułożymy je jedne na drugich w warstwy przypominające plaster miodu, tak by każdy owoc dotykał 12 innych. Jednak jeśli chcemy oszczędzić przy tym papier, rozwiązanie nie jest już takie oczywiste. Co więcej, zmienia się w zależności od liczby wymiarów.

Na początek wyobraźmy sobie, że elfy mają okręcić wstążką płaskie, okrągłe ciasteczka z bakaliami tak, by paczuszka zajęła jak najmniejszy obszar. Jeśli ciasteczek jest sześć, elfy powinny ułożyć je w linii. Wtedy po owinięciu wstążeczką słodycze będą miały kształt kiszki kiełbasianej. Jednak przy siedmiu i więcej ciasteczkach optymalny pakunek ma kształt heksagonalny - taki, w którym środkowe ciasteczko dotyka sześciu pozostałych.

Problem ciasteczek w języku matematyki to problem kół w dwóch wymiarach. Gdy jest ich sześć, będą zajmować najmniejszą powierzchnię ułożone jedno za drugim. Gdy siedem lub więcej - jeśli ułoży się je w kształt plastra miodu. Matematycy udowodnili, że powyższe jest prawdą dla dwóch wymiarów. A co z większą ich liczbą?

Wróćmy do przykładu z bombkami choinkowymi, czyli do przestrzeni trójwymiarowej. Jeśli elfy muszą upchnąć na saniach najwyżej 56 pomarańczy, zajmą one najmniej przestrzeni, gdy będą leżały jedna za drugą. Gdy jest ich 57 i więcej - niech leżą w warstwach.

Dla większej liczby wymiarów sprawa jest bardziej skomplikowana. Kiedy dwuwymiarowe kółko z kartki papieru przeniesiemy w trzeci wymiar, jak łatwo się domyśleć, powstanie kula. Ale kulę tę można wysłać również w wymiar czwarty. Oczywiście my jako istoty trójwymiarowe nie potrafimy sobie wyobrazić, jak by wtedy wyglądała (i czym tak naprawdę by była). Ale jesteśmy na tyle dobrymi matematykami, że nadal możemy dla takich hipotetycznych czterowymiarowych kul prowadzić obliczenia.

Co się okazuje? Ułożenie w rządku jest optymalne, gdy czterowymiarowych pomarańczy będzie 50 tys. Dla więcej niż 100 tys. należałoby upakować je jedna na drugiej. Gdzieś między 50 a 100 tys. jest moment przejścia z rządka na warstwy - ale gdzie dokładnie, nie wiadomo.

A dla większej liczby wymiarów? Matematycy długo przypuszczali, że schemat jest taki jak poprzednio - najpierw optymalne jest ułożenie kul w rządku, a potem, w pewnym momencie, jedna na drugiej. Jednak w 1975 roku Laszlo Fejes Toth zaproponował inną hipotezę. Uznał on mianowicie, że dla pięciu i więcej wymiarów teoretyczne wielowymiarowe bombki choinkowe zawsze najlepiej układać w rządek.

Niestety, jest to hipoteza, a więc pewności nie ma. Podpowiedzi dla Mikołaja (który, jak się domyślamy, jest znacznie lepiej obeznany z wieloma wymiarami niż my) dostarczyło ostatnio trzech matematyków. Ulrich Betke, Martin Henk i Joerg Wills wykazali w 1998 roku, że hipoteza Totha jest prawdziwa dla 42 i więcej wymiarów. A co z wymiarami między 5 a 42? Ciągle nie jest to jasne.

To jednak nie koniec zagadek. Ian Stewart zauważa, że wszystko powyższe jest prawdą w przestrzeni euklidesowej. Czyli w takiej, w której linie równoległe nigdy się nie przetną, a suma kątów w trójkącie wynosi 180 stopni. A co dla innych rodzajów przestrzeni? "Gdyby św. Mikołaj kazał zapakować elfom 600 pluszaków z geometrii innej niż euklidesowa, miałyby wielki, naprawdę wielki kłopot" - podsumowuje matematyk z Warwick.